algebra
algebra <arab>: 1. a matematika egyik ága. Vizsgálatának tárgya a matematikai műveletek, valamint az ezekkel kapcsolatos egyenletmegoldási módszerek, ill. →algebrai struktúrák. Az - fejlődésében három szakasz különböztethető meg: az ún. retorikus szakaszban algebrai jeleket még nem alkalmaztak, csak szavakkal írták le az összefüggéseket. A szinkopikus szakaszban már megjelentek bizonyos rövidítések és jelölések, de még lényeges szerepe maradt a szóbeliségnek, míg a szimbolikus -bán már minden ismeretlent, műveletet, ítéletet stb. szimbólumokkal fejeztek ki. A Kr. e. 2. évezredben a babilóniaiak már ismerték az egyszerűbb —i azonosságokat (pl. a két tag négyzetének összegére vonatkozót, képletek helyett természetesen szavakban, szabályokban kifejezve), az első- és a másodfokú egyenlet megoldását, ill. a bizonyos alakúra visszavezethető harmadfokú egyenleteket is meg tudták oldani. A számolások megkönnyítésére táblázatokat, pl. gyöktáblázatot készítettek. Az egyenletmegoldás mai formalizmusa (jelölésrendszere) ugyan hiányzott, de az ékírás sajátságai bizonyos esetekben előnyösen helyettesítették az algebrai jeleket (pl. az ismeretlen mennyiségeket egy-egy ékírásos jel írta le, ami hasonló a mai jelöléshez). Szembetűnő, hogy a babilóniaiakkal ellentétben a görögök szinte egyáltalán nem ismerték a problémák algebrai tárgyalásmódját; a számfogalomra alapozott logika (az eleai filozófiai iskolára támaszkodva) a matematikát a geometria felé tolta el, így náluk az algebrai jellegű feladatok is geometriai köntösben jelentkeztek (pl. a püthagoreusoknál és Eukleidésznél is). Ezzel a felfogással csak már a görög matematika hanyatló ágában szakítottak egyes képviselői, pl. az alexandriai Diophantosz (3. sz.) Arithmetika c. művében, amelyben a korábbiaknál fejlettebb jelölésrendszert alkalmazott (külön jelei voltak pl. az egyes alapműveletekre, az egyenlőségre, a különböző hatványokra, az ismeretlenre stb.). Az ókori kínaiak algebrai ismeretei egy, a Kr. e. 3. sz.-ban keletkezett, összefoglaló jellegű matematikakönyv szerint fejlettek voltak. A Kr. u. 7. sz.-ban a mai Horner-elrendezéshez hasonló módszert alkalmazva magasabb fokú egyenletek gyökeinek közelítő értékeit határozták meg, ill. lineáris egyenletrendszereket oldottak meg mátrixmódszerrel (az európaiakat kb. 1000 évvel megelőzve). Az ókori és középkori indiai matematika az - fejlődéséhez elsősorban a matematikai nyelv és az egyenletmegoldási eljárások fejlesztésével, továbbá a tízes számrendszer és a helyi érték összeolvasztásával járult hozzá. A legjelentősebb matematikusaik Arjabhatta (5-6. sz.), Brahmagupta (7. sz.) és Bhászkara (12. sz.) voltak. Bevezették a negatív számokat és a nullát, általános módszert adtak a másodfokú egyenlet megoldására. Európába a görög és indiai matematikát, így az algebrai ismereteket is az arabok közvetítették. Az első igazi algebrai nyelvű tárgyalás az arab al-Hvárizminál található meg. Maga az - elnevezés is egyik, 825-ben írt műve, a Kitáb al-dzsabr v al-mukábala (‘A helyreállítás és a törlés könyve’) címének második szavából (dzsabr ‘kiegészítés, helyretétel’) származik. Ez az -könyve elsődlegesen indiai hatást mutat (a számolási szabályok átvételében, a helyi értékes tízes számrendszer használatában) a mezopotámiai és a görög mellett (ami az egyenletek rendszeres tárgyalásában, ill. megoldásuk geometriai módjában tükröződik), s noha visszatért a retorikus algebrara (nem használ szimbólumokat), a fejlődést az jelzi, hogy a megoldás minden lépését logikai következtetésekkel támasztotta alá, így tette érthetővé. Omar Hajjám (11-12. sz.) Az algebrai feladatok megoldásáról c. munkájában az egyenletek megoldásában már tudatosan különítette el a tisztán —i eljárásokat a geometriaiaktól. Az - jelölésmódját F. Viéte dolgozta ki a 16. sz.-ban. Tőle származik a paraméter fogalma, hogy ti. ismert mennyiség helyén is betűt szerepeltet azért, hogy a megoldás a lehető legáltalánosabb legyen. Európa első nagy -i eredményei a harmad- és negyedfokú egyenlet megoldóképletének a megtalálása a 16. sz.-ban, mely elvezet a →polinomók vizsgálatához. Mindezen egyenletmegoldással kapcsolatos problémák képezik a klasszikus algebra tárgykörét. A 18. sz.-ban a lineáris egyenletrendszerek vizsgálata során jelent meg a →mátrix és a →determináns fogalma, lényegében kialakult a →lineáris algebra eszköztára. Az általános ötödfokú egyenlet megoldóképletét a középkorban sokan keresték, míg 1823-ban N. H. Ábel bebizonyította, hogy az ötödfokú egyenlet gyökei nem állíthatók elő általánosan az egyenlet →együtthatóiból az alapműveletek és tetszőleges kitevőjű →gyökvonás véges sokszori alkalmazásával. E tényt teljes részletességében E. Galois tárta fel (1832), megadva a pontos feltételét annak, hogy egy polinom gyöke mikor adható meg valamilyen megoldóképlettel. Az ő módszere az →absztrakt algebra első nagy munkája. A halmazelmélet és a matematikai logika megerősödése adott lehetőséget az algebrai struktúrák osztályainak vizsgálatához (^univerzális algebra). Végül módszereinek jellege miatt az -hoz számítják a →topológiai eredetű →kategórzaelméletet is. írod. K. A. Ribnyikov: A matematika története (1960; m. 1968, 19742); A. P. Juskevics: A középkori matematika története (1961; m. 1982); Szendrei J.: Algebra és számelmélet (1975); Fried E.: Klasszikus és lineáris algebra (1977); B. L. van dér Waerden: Egy tudomány ébredése (m. 1977); Sain M.: Matematikatörténeti ABC (1980, 19875); B. L. van dér Waerden: A History of Algebra (1985); Sain M.: Nincs királyi út! (1986). 2. hiperkomplex rendszer: (mát) olyan →gyűrű, amely egyúttal →vektortér is valamely test felett, és eleget tesz az (ax)y = x(ay) = a(xy) azonosságnak, ahol a az alaptest, x ill. y pedig a gyűrű tetszőleges elemei. A vektortér →bázisát az - bázisának is nevezik. algebrat alkotnak pl. egy test feletti n x n-es^mátrixok v. egy vektortér →lineáris transz formációi. 3. →algebrai struktúra
Forrás: Magyar Nagylexikon, 1. kötet, Magyar Nagylexikon Kiadó, 487. oldal